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Calcul des prédicats : les substitutions

Contents

Une substitution est le fait de remplacer une variable par un autre terme. Nous représenterons la substitution au sein de l'ensemble par une lettre grecque, et l'opérateur de substitution par le signe $/$ , mais nous pouvons aussi retrouver dans certains ouvrages le signe = dont la signification est identique.

Nous traduirons la notation ${X / Y}$ par « X est remplacé par Y »¹.

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Définition de la substitution

Une substitution est un ensemble de la forme $σ = {X_{1} / t_{1}, ..., X_{n} / t_{n}}$ tel que

$∀ i ∈ {1, ..., n} X_{i} ∈ V$
$∀ i ∈ {1, ..., n} t_{i} ∈ T$
$∀ i, j ∈ {1, ..., n} i \neq j ⇒ X_{i} \neq X_{i}$
$∀ i ∈ {1, ..., n} X_{i} \neq t_{i}$

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Domaine et co-domaine

Soit $σ = {X_{1} / t_{1}, ..., X_{n} / t_{n}}$ une substitution, nous avons
$dom (σ) = {X_{1}, ..., X_{n}}$ et $codom (σ) = var (t_{1}, ..., t_{n})$

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Exemples de substitutions

${X / 1, Y / 2, Z / 3}$ substitue $1$ à $X$ (remplace $X$ par la valeur $1$ ), substitue $2$ à $Y$ , et $3$ à $Z$ .
${X / 3, Y / f (Z)}$
${X / Z, Y / f (Z)}$

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Exemples non-valides

${X / X, Y / 1}$ n'est pas une substitution car on ne peut substituer une variable par elle-même.
${X / 1, X / 2, Y / 3}$ n'est pas une substitution car on ne peut lier une variable à deux termes différents. Sinon, devons nous substituer $1$ ou $2$ à $X$ ?

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Substitutions appliquées à des expressions

Nous pouvons aussi appliquer des substitutions sur des termes composés ou des expressions prédicatives. Si nous appliquons une substitution $σ$ sur l'expressions prédicative $E$ (dont nous noterons le résultat $σ E$ ), nous devons remplacer, pour toute variable $X$ que nous rencontrons dans $E$ , la variable $X$ par le terme $t$ qui lui est associé dans $E$ .

Substitution (

σ

) | Expression (

E

) | Résultat (

σ E

) |

{X / tycho_brahe, Y / 1}

p (X, X, denis_diderot)

p (tycho_brahe, tycho_brahe, denis_diderot)

{X / george_berkeley, Y / 1}

p (X, Z)

p (george_berkeley, Z)

{X / tycho_brahe, Y / f (Z)}

p (g (Y), X, h (X), W)

p (g (f (Z)), tycho_brahe, h (tycho_brahe), W)

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Composition

Nous obtenons la composition $σ θ$ de $σ = {X_{1} / t_{1}, ..., X_{n} / t_{n}}$ par $θ = {Y_{1} / u_{1}, ..., Y_{m} / u_{m}}$ à partir de ${X_{1} / t_{1} θ, ..., X_{n} / t_{n} θ, Y_{1} / u_{1}, ..., Y_{m} / u_{m}}$ en supprimant tous les $X_{i} / t_{i} θ$ tels que $X_{i} = t_{i} θ$ et tous les $Y_{j} / u_{j}$ tels que $Y_{j} ∈ codom (σ)$

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Notes

↑ Notation : Dans certains ouvrages ${Y / X}$ est traduit par « Y remplace X », mais nous n'utiliserons jamais cette notation dans les pages qui suivent car cette notation est inversée par rapport à celle que nous utilisons. Une fois qu'un choix de notation est pris, nous devons nous y tenir afin d'éviter toute confusion possible.

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References

IHDCB337 - Technique d'intelligence artificielle : JM Jacquet, Programmation déclarative (2009)
IHDCB337 - Technique d'intelligence artificielle : H Toussaint, Tp (2009)
Logique pour l'informatique : Serenella Cerrito, Introduction à la déduction automatique (October 2008)

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