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Calcul des prédicats : les substitutions

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Une substitution est le fait de remplacer une variable par un autre terme. Nous représenterons la substitution au sein de l'ensemble par une lettre grecque, et l'opérateur de substitution par le signe est SUBSTITUE par , mais nous pouvons aussi retrouver dans certains ouvrages le signe = dont la signification est identique.

Nous traduirons la notation { X est SUBSTITUE par Y } par « X est remplacé par Y »¹.

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Définition de la substitution

Une substitution est un ensemble de la forme sigma = { X₁ est SUBSTITUE par t₁, ..., X_n est SUBSTITUE par t_n } tel que

( POUR TOUT i est INCLU dans { 1, ..., n } ) X_i est INCLU dans V
( POUR TOUT i est INCLU dans { 1, ..., n } ) t_i est INCLU dans T
( POUR TOUT i, j est INCLU dans { 1, ..., n } ) ( (i est DIFFERENT de j) IMPLIQUE (X_i est DIFFERENT de X_i) )
( POUR TOUT i est INCLU dans { 1, ..., n } ) (X_i est DIFFERENT de t_i)

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Domaine et co-domaine

Soit sigma = { X₁ est SUBSTITUE par t₁, ..., X_n est SUBSTITUE par t_n } une substitution, nous avons
une FONCTION dom(AVEC sigma COMME ARGUMENTS) = { X₁, ..., X_n } et une FONCTION codom(AVEC sigma COMME ARGUMENTS) = une FONCTION var(AVEC t₁, ..., t_n COMME ARGUMENTS)

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Exemples de substitutions

{ X est SUBSTITUE par 1, Y est SUBSTITUE par 2, Z est SUBSTITUE par 3 } substitue 1 à X (remplace X par la valeur 1), substitue 2 à Y, et 3 à Z.
{ X est SUBSTITUE par 3, Y est SUBSTITUE par une FONCTION f(AVEC Z COMME ARGUMENTS) }
{ X est SUBSTITUE par Z, Y est SUBSTITUE par une FONCTION f(AVEC Z COMME ARGUMENTS) }

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Exemples non-valides

{ X est SUBSTITUE par X, Y est SUBSTITUE par 1 } n'est pas une substitution car on ne peut substituer une variable par elle-même.
{ X est SUBSTITUE par 1, X est SUBSTITUE par 2, Y est SUBSTITUE par 3 } n'est pas une substitution car on ne peut lier une variable à deux termes différents. Sinon, devons nous substituer 1 ou 2 à X ?

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Substitutions appliquées à des expressions

Nous pouvons aussi appliquer des substitutions sur des termes composés ou des expressions prédicatives. Si nous appliquons une substitution sigma sur l'expressions prédicative E (dont nous noterons le résultat sigmaE), nous devons remplacer, pour toute variable X que nous rencontrons dans E, la variable X par le terme t qui lui est associé dans E.

Substitution (sigma) | Expression (E) | Résultat (sigmaE) |

{ X est SUBSTITUE par arthur_schopenhauer, Y est SUBSTITUE par 1 } | une FONCTION p(AVEC X, X, guido_van_rossum COMME ARGUMENTS) | une FONCTION p(AVEC arthur_schopenhauer, arthur_schopenhauer, guido_van_rossum COMME ARGUMENTS) |

{ X est SUBSTITUE par roger_bacon, Y est SUBSTITUE par 1 } | une FONCTION p(AVEC X, Z COMME ARGUMENTS) | une FONCTION p(AVEC roger_bacon, Z COMME ARGUMENTS) |

{ X est SUBSTITUE par arthur_schopenhauer, Y est SUBSTITUE par une FONCTION f(AVEC Z COMME ARGUMENTS) } | une FONCTION p(AVEC une FONCTION g(AVEC Y COMME ARGUMENTS), X, une FONCTION h(AVEC X COMME ARGUMENTS), W COMME ARGUMENTS) | une FONCTION p(AVEC une FONCTION g(AVEC une FONCTION f(AVEC Z COMME ARGUMENTS) COMME ARGUMENTS), arthur_schopenhauer, une FONCTION h(AVEC arthur_schopenhauer COMME ARGUMENTS), W COMME ARGUMENTS) |

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Composition

Nous obtenons la composition sigmatheta de sigma = { X₁ est SUBSTITUE par t₁, ..., X_n est SUBSTITUE par t_n } par theta = { Y₁ est SUBSTITUE par u₁, ..., Y_m est SUBSTITUE par u_m } à partir de { X₁ est SUBSTITUE par t₁theta, ..., X_n est SUBSTITUE par t_ntheta, Y₁ est SUBSTITUE par u₁, ..., Y_m est SUBSTITUE par u_m } en supprimant tous les X_i est SUBSTITUE par t_itheta tels que X_i = t_itheta et tous les Y_j est SUBSTITUE par u_j tels que Y_j est INCLU dans une FONCTION codom(AVEC sigma COMME ARGUMENTS)

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Document créé le 10/07/2010, dernière modification le 28/10/2018
Source du document imprimé : https://www.gaudry.be/calcul-predicats-substitution-rf-texte.html

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Notes

↑ Notation : Dans certains ouvrages { Y est SUBSTITUE par X } est traduit par « Y remplace X », mais nous n'utiliserons jamais cette notation dans les pages qui suivent car cette notation est inversée par rapport à celle que nous utilisons. Une fois qu'un choix de notation est pris, nous devons nous y tenir afin d'éviter toute confusion possible.

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Références

IHDCB337 - Technique d'intelligence artificielle : JM Jacquet, Programmation déclarative (2009)
IHDCB337 - Technique d'intelligence artificielle : H Toussaint, Tp (2009)
Logique pour l'informatique : Serenella Cerrito, Introduction à la déduction automatique (October 2008)

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