Fibonacci et la programmation
Leonardo Fibonacci
Leonardo Fibonacci est un mathématicien italien qui a très tôt pris conscience que les chiffres arabes et le système décimal permettaient de manipuler les nombres plus aisément et plus rapidement que le système des chiffres romains1.
Ses travaux sur l'arithmétique et leurs applications commerciales sont encore utilisés, mais ses contemporains n'ont pas saisi la portée de ces changements, diabolisant même l'apparition de ce nouveau chiffre zéro qui représentait le vide.
La suite de Fibonacci
La suite d'entiers de Fibonacci est très souvent utilisée en informatique pour comprendre certains principes algorithmiques, comme la récursivité. Le problème posé par Fibonacci concerne la croissance d'une population de lapins :
Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côté par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?
Cependant, certaines distances sont prises par rapport à la réalité :
- aucun lapin ne meurt pendant la durée du test.
- chaque couple de lapins pubères engendre chaque mois exactement un nouveau couple( un mâle et une femelle) de lapins.
Nous pouvons en déduire pour notre algorithme que :
- Colonne 1 : Xeme mois
- Colonne 2 : Nombre de couples de lapereaux après X mois
- Colonne 3 : Nombre de couples de lapins après X mois
- Colonne 4 : Nombre total de couples après X mois (suite de Fibonacci)
Les lapins de Fibonacci en image...
Si nous consultons le rapport entre les mois, les nombres de couples de lapereaux, de couples de lapins pubères et le total de la population, nous pouvons en déduire qu'au moment m la population est égale à la population du mois prédcédent(m - 1) plus la population deux mois auparavant(m - 2). Les seules exceptions sont les deux premières lignes de notre tableau, car nous devons attendre de placer un couple dans notre laboratoire, que ce couple soit pubère, et le temps de la gestation.
Programmer les suites de Fibonacci
Code Java (Fibonacci avec simple récursivité) (9 lignes)
public class Fibonacci { public static int fibonacci(int n) { if (n < 2) return (n); return (fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)); } }
Dans cette implémentation, nous pouvons remarquer deux appels récursifs2, ce qui donne un ordre de grandeur de temps T(n) ≤ (2n)
Nous pouvons optimiser ce code par l'application des principes de la programmation dynamique, comme nous l'avons vu lors d'exemple de la mémoïsation appliquée à la suite de Fibonacci.
3Code Pascal (Suite de Fibonacci ) (9 lignes)
function fibonacci(var n : integer) : integer; {Pre: n>=0} begin if n < 2 then fibonacci := n; else fibonacci := fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2); end;
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23/12/2024 07:40:11 Cette version de la page est en cache (à la date du 23/12/2024 07:40:11) afin d'accélérer le traitement. Vous pouvez activer le mode utilisateur dans le menu en haut pour afficher la dernère version de la page.Document créé le 30/10/2009, dernière modification le 12/03/2019
Source du document imprimé : https://www.gaudry.be/algorithme-fibonacci-rf-lisp/programmer-dynamique.html
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- ↑ Liber Abaci : C'est dans ce livre que Leonardo Fibonacci tenta de convaincre ses contemporains de l'utilité des chiffres arabes. Le titre peut se traduire par "Livre de calcul", ou encore "Livre de l'abaque (car l'abaque, ou boulier était l'instrument de calcul de l'époque)."
- ↑ Double récursion : fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
- ↑ Autres codes en relation avec Fibonacci :
Suite de Fibonacci Exemple d'itération en C
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en C
Suite de Fibonacci Exemple d'itération en C++
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en C++
Suite de Fibonacci Exemple d'itération en C#
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en C#
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Pascal
Suite de Fibonacci Exemple de méoïsation en Pascal
Suite de Fibonacci Exemple d'itération en ADA
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en ADA
Suite de Fibonacci Exemple d'itération en PHP
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en PHP
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Java
Suite de Fibonacci Exemple d'itération en Ruby
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Ruby
Suite de Fibonacci
Suite de Fibonacci
Suite de Fibonacci Exemple d'itération en ASP
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en ASP
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en JavaScript
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Lisp
Suite de Fibonacci Exemple d'itération en Perl
Suite de Fibonacci Exemple d'itération en Perl avec bigint
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Perl
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Python
Suite de Fibonacci
Suite de Fibonacci Exemple d'itération en Eiffel
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Eiffel
Suite de Fibonacci Exemple d'itération en Scheme
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Scheme
Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Ocaml
Suite de Fibonacci
Références
- IHDCB331 - Méthodes de Programmation : PY Schobbens,
Cours de Méthodes de Programmation
(September 2009)
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