Logique : introduction

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Définitions logique

La logique est la science qui étudie les formes dans lesquelles les concepts et les raisonnements sont énoncés. Elle remonte au IVe siècle avant JC avec Aristote, mais ses implications mathématiques furent découvertes au IXe siècle par Boole, et de Morgan.

« Mais qu'est-ce qu'il dit? »

Euh... c'est la science qui étudie la pensée et le raisonnement.

« Mouais, comme ça j'comprends mieux! Continue… »

La logique mathématique, aussi appelée algèbre de Boole, est la théorie scientifique des raisonnements qui comporte notamment les calculs des propositions (les calculs de prédicats ne seront pas pris en compte ici).

Une proposition logique, ou proposition booléenne, est un énoncé susceptible d'être vrai ou d'être faux. Elle doit donc satisfaire aux exigences suivantes:

  • une proposition logique est vraie ou est fausse.
  • elle ne peut être en même temps vraie et fausse.

Une proposition logique a donc au plus deux valeurs de vérité, l'une excluant l'autre. La valeur vrai se notera 1, et la valeur faux se notera 0.

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Remarques

  1. En informatique, nous rencontrons des propositions logiques dans les instructions conditionnelles et les boucles:
    SI <condition> ALORS <action>
    TANT QUE <condition> FAIRE <action>
    REPETER <action> JUSQU' A <condition>
  2. Par la suite le terme proposition remplacera l'expression "proposition logique", et nous représenterons ces propositions par des lettres.
  3. Nous pouvons combiner des propositions gràce aux opérateurs logiques, afin d'obtenir d'autres propositions, appelées "propositions composées".
    La valeur de vérité d'une proposition composée dépendra des opérateurs et des valeurs de vérité des propositions de départ. Il est donc nécessaire de prévoir dans une table de vérité toutes les possibilités qui peuvent se présenter.

Valeurs en logique

p |
0 |
1 |
p |

Dans le cas d'une proposition p, nous obtenons une table de vérité à 2 lignes, car deux cas sont possibles: elle est vraie ou fausse.

p | q |
0 | 0 |
0 | 1 |
1 | 0 |
1 | 1 |
p | q |

Dans le cas de deux propositions p et q, la table de vérité se décline en quatre lignes. Nous pouvons constater une similitude avec les progressions binaires, car deux états sont possibles.
Nous pouvons donc déterminer le nombre de cas possibles en fonction du nombre de propositions:

  • Pour n propositions, nous avons 2ncas possibles.
p | q | r |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 |
p | q | r |

Dernier exemple: Pour trois propositions, nous avons huit cas possibles. En effet, deux élevé à la puissance trois donne pour résultat huit.
Remarquons la méthode de construction de la table de vérité: en traitant la table par lignes, on utilise la méthode de comptage binaire.

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Document créé le 19/03/2002, dernière modification le 26/10/2018
Source du document imprimé : https://www.gaudry.be/logique-intro.html

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