Niveaux des graphes

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La décomposition en niveaux nous fournit un ordre topologique pour le graphe, puisque nous pouvons considérer les sommets "de haut en bas" (comparer les niveaux des sommets).

La décomposition en niveaux n'est possible que si le graphe ne possède pas de circuit.
Cela peut se démontrer de la manière suivante :

  • soient x et y deux sommets d'un mê;me circuit, avec les arcs (x,y) et  (y,x)
  • Selon l'arc (x,y), nous définissons le niveau de x à 01 et le niveau de y à 1.
  • Ensuite, selon l'arc (y,x), le niveau de y doit être inférieur au niveau de x, mais ces niveaux ont déjà été définis, et 1 < 0 est faux.

Algorithme de décomposition en niveaux

  1. //initialisation
  2. ∀x : level[x] := -1;
  3. ∀x : deg[x] := degré intérieur de x;
  4. k := 0;
  5. //décomposition possible
  6. decomp := true;
  7.  
  8. //exécution
  9. tant_que ∃ x : level[x] = -1 ∧ decomp faire
  10.  
  11. 	decomp :=false;
  12.  
  13. 	// ∀ sommet non traité
  14. 	∀x : deg[x] = 0 ∧ level[x] = -1 faire
  15.  
  16. 		// positionner x sur le niveau courant
  17. 		level[x] := k;
  18.  
  19. 		// poursuivre la décomposition
  20. 		decomp := true;
  21.  
  22. 	fin ∀
  23.  
  24. 	// ∀ sommet de ce niveau
  25. 	∀x : level[x] = k faire
  26.  
  27. 		// ∀ sommet y incident au sommet x
  28. 		// rappel : A est l'ensemble des arcs
  29. 		∀y : (x,y) ∈ A
  30.  
  31. 			// retirer le sommet car il est traité
  32. 			// => diminuer le degré intérieur
  33. 			deg[y] := deg[y]-1;
  34.  
  35. 		fin ∀
  36.  
  37. 		// changer de niveau
  38. 		k := k+1;
  39.  
  40. 	fin ∀
  41.  
  42. fin tant_que

Complexité

La complexité de l'algorithme de décomposition en niveaux est de Ordre de grandeur(n2), bien que les deux ∀ imbriqués laissent présumer une complexité de Ordre de grandeur(n3).

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Document créé le 03/01/2010, dernière modification le 26/10/2018
Source du document imprimé : https://www.gaudry.be/graphes-decomposition-niveaux.html

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Notes
  1. ↑ Numérotation des niveaux : La numérotation des niveaux débute à zéro.

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Références

  1. livre Langue du document :fr INFOB321 - Théorie des graphes : JP Leclercq, Cours de Théorie des Graphes et réseaux de Petri (September 2008)

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