Fermeture transitive d'un graphe : Warshall

Matrice d'accessibilité

La notion d'accessibilité en théorie des graphes est la possibilité d'atteindre un sommet y depuis un sommet x.

Le sommet y est accessible depuis un sommet x soit si x = y (chemin de longueur nulle), soit si il existe un chemin entre x et y.

Nous utiliserons pour les chemins d'un sommet à lui même la matrice d'identité (I) de la manière suivante : M' = I⊕A¹⊕A²⊕ ... ⊕Aⁿ qui peut en pratique se simplifier par M'=(I⊕A)^n-1.

Fermeture transitive

Lorsque nous nous posons la question de savoir s'il existe des chemins entre deux sommets d'un graphe, nous ne sommes pas forcés de déployer l'artillerie lourde.

Mais lorsque nous nous posons souvent la question pour un même graphe, ou lorsque nous désirons savoir si il existe un chemein entre x et y pour tout x et pour tout y du graphe, alors nous avons besoin de calculer la fermeture transitive.

Calculer la fermeture transitive d'un graphe en pré-traitement révèle souvent un gain important lors de traitement ultérieur.

L'algorithme le plus répendu pour le calcul de la fermeture transitive d'un graphe est l'algorithme de Roy et Warshall¹

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Algorithme de Roy-Warshall

Fonctionnalités de l'algorithme de Roy-Warshall

L'algorithme de Roy-Warshall est un algorithme de recherche de fermeture transitive d'un graphe.

Caractéristiques de l'algorithme de Warshall

L'algorithme de Roy-Warshall nous permet de calculer aisément la matrice booléenne de la relation d'accessibilité, en jouant sur le double emploi d'une variable.

Warshall évite donc d'implémenter un algorithme de type M := I⊕A¹⊕A²⊕ ... ⊕Aⁿ qui se révèle beaucoup trop complexe.

La variable k joue donc un double rôle dans notre algorithme :

Indice de boucle : nous constatons que la boucle principale utilise k comme compteur d'itérations, de 0 (chemins de longueur 0, donc sans sommet intermédiaire), jusque n (nous avons alors envisagé tous les chemins passant par n'importe quel sommet intermédiaire).
Indice de sommet : M[i,k] et M[k,j].

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Code de l'algorithme de Warshall

Phase d'initialisation

∀_(i,j) M[i,j] := Aij=1?true:false;² // Toutes les valeurs 1 de la matrice A sont représentés par true dans le tableaux de tableaux M. Les valeurs 0 sont représentés par false.

Phase d'exécution

Code (Pseudo-code de Warshall) (9 lignes)

pour k variant_de 1 jusque n faire
	pour i variant_de 1 jusque n faire
		si M[i,k] = true alors
			pour j variant_de 1 jusque n faire
				M[i,j] := M[i,j] &oplus; M[k,j];
			fin pour
		fin si
	fin pour
fin pour

Comme l'algorithme de Warshall pour le calcul de la fermeture transitive se base sur l'emploi de matrices, nous allons travailler avec un tableau de tableaux, ce qui est identique, mais assez coûteux.

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Algorithme de Minoux

Fonctionnalités de l'algorithme de Minoux

L'algorithme de Minoux est un algorithme de recherche de fermeture transitive d'un graphe.
Minoux n'accepte pas les circuits.
Complexité en général inférieure à celle de l'algorithme de Warshall.

Caractéristiques de l'algorithme de Minoux

Si nous avons la certitude que notre graphe ne présente pas de circuit, nous pouvons encore améliorer la recherche de fermeture transitive de notre graphe grace à l'ordre topologique sous-jacent, comme le propose Minoux^{ref 2}. Cette amélioration se marque le plus avec les graphes de faible densité.

Dans le pire des cas, la complexité de l'algorithme de Minoux est de (m*n) pour chaque arc, avec m pour le nombre d'arcs et n pour le nombre de sommets, donc (n³)

Il existe aussi la version de Minoux et Bartnik, pour laquelle nous avons une complexité de (∑d^int_j . d^ext_j).

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Notes

↑ Warshall : Stephen Warshall (1935 - 11 Décembre 2006), à travaillé pour la recherche et le développement dans des domaines tels que les logiciels d'exploitation, la conception de compilateur, les langages de programmation, et la recherche opérationnelle.
↑ M[i,j] := Aij=1?true:false : Voir la syntaxe de l'opérateur ternaire.

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References

INFOB321 - Théorie des graphes : JP Leclercq, Cours de Théorie des Graphes et réseaux de Petri (September 2008)
Graphes et algorithmes : Michel Gondran; Michel Minoux, Eyrolles - 1995 3eme ed. rev. et augm.

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