Opérateurs logiques

Notation de l'opérateur NOT

Soit p une proposition logique, la négation de p se notera ¬p, ou ~p, ou p, ou NOT(p)¹.

Dans la mesure du possible, j'utiliserai la notation p; mais dans le cas par exemple d'une double négation, j'utiliserai la notation ¬¬p (simplement parce que je n'ai pas trouvé le moyen de surligner deux fois un caractère...).

Définition de l'opérateur NOT

p = vrai <=> p = faux

p = faux <=> p = vrai

Table de vérité de l'opérateur NOT

les valeurs sont purement et simplement inversées; nous pouvons parler de négation

Exemple de l'opérateur NOT

Soit la proposition (instruction) suivante:
if (a>b) printf("%d", a); else a++;

La négation ("!" en langage c) de la proposition donne:
if (!(a>b)) printf("%d",a); a++;

Remarques:

• En modifiant l'ordre des instructions, la négation est annulée:
  if (!(a>b)) a++; else printf("%d", a);
• Nous pouvons nier la proposition sans utiliser l'opérateur de négation:
  if (a>b) a++; else printf("%d", a); est égal à if (!(a>b)) printf("%d",a); a++;

Propriétés de l'opérateur NOT

Une double négation s'annule: ¬¬p = p.

Exemple: "if (!(!(a>b))) printf("%d",a); a++;" est égal à "if (a>b)printf("%d",a); a++;"

L'opérateur logique NOT en électricité

L'équivalent en électricité de l'opérateur logique de négation est l'inverseur.

L'opérateur logique NOT en électronique

Notation américaine:

Notation européenne:

Remarque

L'opérateur de négation porte sur une seule proposition, même si cette dernière peut être composée d'opérations, ou être très complexe.

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Notation de l'opérateur AND

Soit p et q des propositions logiques, leur conjonction se notera p ^ q, ou p . q (attention: il ne s'agit pas ici d'algèbre traditionnel).

Définition de l'opérateur AND

p . q = vrai <=> p = vrai ET q = vrai

Table de vérité de l'opérateur AND

Nous pouvons donc en déduire que le zéro (valeur faux) est absorbant, comme en multiplication dans l'algèbre traditionnel.

Exemple de l'opérateur AND

if (a>10 && a<20) printf("%d", a);

Les deux conditions doivent être réunies pour que l'instruction soit exécutée; si une seule (ou aucune des deux) condition est réunie, l'instruction n'est pas exécutée.
En langage c ce type d'opérateur est figuré par la suite de caractères suivante: &&.
Dans notre exemple, les valeurs de 11 à 19 réunissent les conditions pour l'impression vers le fichier de sortie standard (l'écran).

Propriétés de l'opérateur AND

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

1. p . p = p
   
   
2. p . p = 0
   
   
3. p . i = 0 (car p . 0 = 0)
   
   
4. p . t = p (car p . 1 = p)
   
   
5. p . q = q . p
   
   
6. (p . q) . r = p . (q . r)

Démonstration de (p . q) . r = p . (q . r)

L'opérateur logique AND en électricité

L'opérateur logique AND en électronique

Notation américaine:

Notation européenne:

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Notation de l'opérateur OR

Soit p et q des propositions logiques, le OU inclusif se notera p + q, ou p v q.

Définition de l'opérateur OR

p + q = vrai si p ou q = vrai.
p + q = faux <=> p et q = faux.

Table de vérité de l'opérateur OR

Nous pouvons donc en déduire que le 1 (valeur vrai) est absorbant.

Exemple de l'opérateur OR

if ((a>5) || (b>10)) instruction1;
else instruction2;

a = 6 et b = 11 => instruction1
a = 6 et b = 6 => instruction1
a = 4 et b = 6 => instruction2
a = 4 et b = 11 => instruction1

Propriétés de l'opérateur OR

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

1. p + p = p
   
   
2. p + p = 1
   
   
3. p + 1 = 1
   
   
4. p + 0 = p
   
   
5. p + q = q + p
   
   
6. (p + q) + r = p + (q + r)

L'opérateur logique OR en électricité

L'opérateur logique OR en électronique

Notation américaine:

Notation européenne:

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Notation de l'opérateur XOR

Soit p et q des propositions logiques, le OU exclusif se notera p ⊕ q, ou p v q.

Définition de l'opérateur XOR

Nous pouvons appeler XOR ou exclusif car il exclut le AND

p ⊕ q = p. q + p . q

p ⊕ q = ¬(pq + ¬p¬q)

p ⊕ q = (p + q) . ¬(pq)

p ⊕ q = (p + q)(¬p + ¬q)

Table de vérité de l'opérateur XOR

Propriétés de l'opérateur XOR

Soit 1 une tautologie et 0 une ineptie:

1. p ⊕ p = 0
   
   
2. p ⊕ p= 1
   
   
3. p ⊕ 1 = p
   
   
4. p ⊕ 0 = p
   
   
5. p ⊕ q = q ⊕ p
   
   
6. (p ⊕ q) ⊕ r = p ⊕ (q ⊕ r)

L'opérateur logique XOR en électronique

Notation américaine:

Notation européenne:

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Notation de l'opérateur d'implication

Soit p et q des propositions logiques, l'équivalence se notera p => q.

Définition de l'opérateur d'implication

L'expression "p implique q" revient à nier l'antécédent et ajouter le conséquent. La proposition "p" est l'antécédent, et la proposition "q" est le conséquent. p => q ⇔ p + q

« Mais qu'est-ce qu'il dit? »

Nous pouvons dire que "p implique q" est faux seulement si "p" est vrai et que "q" est faux.

Table de vérité de l'opérateur d'implication

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Notation de l'opérateur d'équivalence

Soit p et q des propositions logiques, l'équivalence se notera p ° q, ou p ⇔ q.

Table de vérité de l'opérateur d'équivalence

Exemple de l'opérateur d'équivalence

p = "ce triangle est équilatéral"
q = "ce triangle a trois côtés égaux"

p <=> q

Propriétés de l'opérateur d'équivalence

1. (p <=> q) ⇔p. q+ p + q
   
   
2. (p <=> q) ⇔p ⊕ q
   
   
3. (p <=> q) ⇔(p => q) . (q => p)

Démonstration algébrique de (p <=> q) ⇔(p => q) . (q => p)

(p => q) . (q => p) ⇔(p+ q) . (q+ q)

⇔p. q+ p. p + q . q+ q . p

⇔p. q+ q . p ⇔(p <=> q) (cf. propriété1)

cqfd: (p => q) . (q => p) ⇔ (p <=> q)

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