Pi

L’histoire ancienne de π, qu’on peut retracer grâce aux écrits disponibles, suit approximativement l’avancée des mathématiques dans leur ensemble. Certains auteurs divisent l’histoire de π en trois parties : la période antique durant laquelle π a été étudié géométriquement, l’ère classique, aux alentours du .

Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu'il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu'entre l'aire du disque et le carré du rayon. Des tablettes babyloniennes datant de 2 000 ans présentent des calculs d'aire conduisant à une valeur de π de 3 + 1/8.

Découvert en 1858, le papyrus de Rhind contient le texte, copié au scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes plus ancien encore. On y trouve utilisée plusieurs fois une méthode pour évaluer l'aire d'un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d'un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de π de 256/81.

Une justification possible de celle-ci s'appuie sur un schéma, figurant dans le problème 48 du Papyrus Rhind et que l'on peut interpréter comme le schéma ci-contre. Si le disque a pour diamètre 9, l'aire du disque est légèrement supérieure à l'aire de l'octogone (irrégulier) obtenu en rognant les coins du carré de côté 9. Cet octogone a pour aire 63 ; l'aire du disque est alors évaluée à 64, soit l'aire d'un carré de côté 8. Le rapport entre l'aire du disque et le carré du rayon est alors évalué par 64/(9/2)², c'est-à-dire 256/81. Mais Annette Imhausen, historienne des mathématiques de l'Égypte antique, considère que l'on ne peut rien tirer de ce schéma, présent dans ce qui s’apparente à un manuel scolaire et non à une note de recherche.

Vers 700 indien Shatapatha Brahmana donne une approximation de π : 25/8 (= 3,125) et le Baudhāyana Sulbasūtra en donne deux autres : 900/289 (≈ 3,11) et 1156/361 (≈ 3,20). Des calculs d'astronomie ont ensuite conduit à une autre approximation védique : 339/108 (≈ 3,139). Au début du Aryabhata donne une approximation plus précise : 62 832/20 000 = 3,1416. Comme |π – 3,1416| < 0,0000075, il s'agit d'un résultat remarquable, exact à 10⁻⁵ près.

Une approximation de π est également donnée en creux dans la Bible, au Premier Livre des Rois, vraisemblablement écrit au .

Archimède (287 à 212 De la mesure du cercle que l'aire d'un disque est égale à l'aire du triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon du disque et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même disque. Il démontre ainsi qu'une même constante apparaît dans le rapport entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre.

Cette démonstration s'appuie sur la méthode d'exhaustion et un raisonnement par l'absurde. En partant d'un carré inscrit dans le cercle et d'un carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés, il prouve que l'aire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant.

• Cercle et ses carrés inscrit et circonscrit.
• Cercle et ses octogones inscrit et circonscrit.
• Découpage du cercle en 8 portions.

Sa démonstration exploite l'idée du découpage en quartiers : le cercle est découpé en plusieurs quartiers qui, mis bout à bout, dessinent des triangles curvilignes de même hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon ; la somme des bases correspond alors au périmètre du cercle et l'aire est alors de 1/2 de la base multipliée par la hauteur, c'est-à-dire 1/2 du périmètre multiplié par le rayon.

Dans le même traité, Archimède établit un encadrement du périmètre du cercle à l'aide des périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit au cercle et possédant 96 côtés. Pour calculer les périmètres de ces polygones, il part d'hexagones inscrits et circonscrits et met en évidence les formules donnant le périmètre d'un polygone dont le nombre de côtés a doublé. Son calcul revient à démontrer que 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7. La moyenne de ces deux valeurs est d'environ 3,14185. Archimède s'arrête à 96 côtés car les calculs qu'il est amené à effectuer, avec valeurs approchées, sont déjà longs pour l'époque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui permet en théorie une précision aussi grande que souhaitée. Il faut cependant une précision toujours plus grande dans les premiers calculs à chaque fois que l'on double le nombre de côtés du polygone. Ptolémée, scientifique grec ayant vécu trois siècles après Archimède, donne une valeur de ${\displaystyle {\frac {377}{120}}\approx 3,14166\dots }$, qu'il a pu obtenir grâce à Apollonios de Perga, ou bien en utilisant sa table trigonométrique et en multipliant par 360 la longueur de la corde sous-tendue par un angle d'un degré.

Formules d'Archimède

Archimède utilise une propriété liant le pied d'une bissectrice aux côtés adjacents : dans la figure ci-contre, SS′ est la bissectrice de l'angle de sommet S ${\displaystyle {\frac {x}{a}}={\frac {y}{b}}={\frac {x+y}{a+b}}}$

Pour le polygone circonscrit. Dans la figure ci-contre, ${\displaystyle c_{1}}$ et ${\displaystyle c_{2}}$ sont les demi-côtés de deux polygones circonscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant la propriété précédente, que ${\displaystyle {\frac {c_{1}}{c_{2}}}=1+{\frac {d_{1}}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{r}}={\sqrt {1+\left({\dfrac {c_{1}}{r}}\right)^{2}}}}$ et réitère 4 fois l'opération à partir de l'hexagone.

Pour le polygone inscrit. Dans la figure ci-contre, ${\displaystyle c_{1}}$ et ${\displaystyle c_{2}}$ sont les côtés de deux polygones inscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant les triangles semblables et la propriété de la bissectrice, que

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{c_{2}}}={\frac {2r}{y}}={\dfrac {2r}{c_{1}}}+{\frac {d_{1}}{c_{1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {2r}{c_{2}}}={\sqrt {1+\left({\dfrac {d_{2}}{c_{2}}}\right)^{2}}}}$ On peut montrer ainsi que les périmètres ${\displaystyle p_{n}}$ et ${\displaystyle P_{n}}$ des polygones inscrit et circonscrit obtenus au bout de n étapes (soit, dans le cas d'Archimède qui commence avec un hexagone, des polygones à 6×2ⁿ côtés) vérifient les relations de récurrence suivantes : ${\displaystyle {\frac {1}{P_{n+1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{p_{n}}}+{\frac {1}{P_{n}}}\right),\quad p_{n+1}={\sqrt {p_{n}P_{n+1}}}}$. Les identités trigonométriques permettent également d'obtenir rapidement ces relations ().

La démonstration d'Archimède revient ainsi au calcul et à la justification à chaque étape de valeurs rationnelles par défaut et par excès du périmètre du cercle pour conclure, au bout de n = 4 étapes (96 côtés), à l'encadrement souhaité.

 

Si les calculs pratiques peuvent se faire avec une bonne précision en utilisant la valeur 3,14 comme approximation de π, la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. Au  siècle, en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d'Archimède mais plus performants et fournit une approximation de π de 3,1416. Le mathématicien chinois Zu Chongzhi donne une approximation rationnelle encore plus précise de π : π ≈ 355/113 (dont les développements décimaux sont identiques jusqu'à la , en utilisant l'algorithme de Liu Hui appliqué à un polygone à 12 288 côtés. Cette valeur demeure la meilleure approximation de π au cours des 900 années qui suivent.

Jusqu’en 1400 environ, la précision des approximations de π n’excédait pas les 10 décimales. Les progrès en matière de calcul intégral et de séries vont permettre d’améliorer cette précision. Les séries permettent d’approcher π avec d’autant plus de précision qu’on utilise de termes de la série pour le calcul. Vers 1400, le mathématicien indien Madhava de Sangamagrama trouve ce qui constitue, en langage moderne, le développement de la fonction arc tangente (redécouvert par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au ) : ${\displaystyle \arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}\quad (x\in \left[-1,1\right]).}$ Le cas particulier x = 1 est la série de Leibniz mentionnée plus haut — également connue sous le nom de série de Madhava-Leibniz^, — dont la convergence est trop lente.

Le cas particulier x = 1/√3 : ${\displaystyle \pi =6\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)={\sqrt {12}}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)3^{k}}}}$ converge bien plus vite, ce qui a permis à Madhava de donner une valeur approchée de π de 3,141 592 653 59, qui a 11 décimales correctes. Mais ces travaux restèrent inconnus en dehors du Kerala jusqu'au  siècle, à la suite de la conquête de l'Inde par les Britanniques. Le record de Madhava a été battu en 1424 par le mathématicien perse Al-Kashi (Traité de la circonférence), qui a réussi à donner 16 décimales, en appliquant la méthode d'Archimède à un polygone de 3×2²⁸ côtés.

La première contribution importante venant d’Europe depuis Archimède a été faite par François Viète, qui en donne douze décimales, avec un encadrement du reste dans son Canon mathématique en 1579. Il est suivi par Adrien Romain, qui donne 15 décimales en 1591, et l’Allemand Ludolph van Ceulen (1540-1610), qui a utilisé la même méthode géométrique afin de donner une estimation de π correcte à 35 décimales près. Il a été si fier de son calcul, qui lui a demandé une grande partie de sa vie, qu’il a fait graver les décimales sur sa pierre tombale.

Il est immédiatement suivi par Willebrord Snell, son élève, qui trouve des méthodes plus rapides pour obtenir la même approximation. Dans la même période, les méthodes de calcul intégral et de détermination de séries et produits infinis pour des quantités géométriques ont commencé à émerger en Europe. La première formule de ce type est la formule de Viète : ${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots \!}$

exposée par Viète en 1579 dans son Canon mathématique et à nouveau ^souhaitée] en 1593, dans ses Problèmes variés. Un autre résultat célèbre est le produit de Wallis : ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k)^{2}}{(2k)^{2}-1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \ ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdots \!}$

que l’on doit à John Wallis, qui l’a mis en évidence en 1655. Isaac Newton lui-même a utilisé le développement en série de π/6 = arcsin(1/2) pour calculer 15 décimales de π ; bien plus tard, il a déclaré : « J’ai honte de vous dire combien de décimales j’ai trouvées grâce à ces calculs, n’ayant aucune autre occupation à l’époque. »

En 1706, John Machin a été le premier à trouver 100 décimales de π, en utilisant la formule : ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!}$ et le développement ci-dessus en série entière de arctan.

Les formules de ce type, maintenant connues sous le nom de formules de Machin, ont été utilisées pour battre plusieurs records de décimales connues de π (par exemple Thomas Fantet de Lagny en calcule 112 en 1719), et demeurent aujourd’hui les formules les plus connues pour calculer π grâce à des ordinateurs. Un record remarquable est détenu par le calculateur prodige Zacharias Dase qui, en 1844, à l’aide d’une formule de Machin, a calculé 200 décimales de π, à la demande de Gauss. La meilleure valeur obtenue à la fin du William Shanks, qui a passé quinze ans à calculer 607 décimales puis 707 décimales de π, bien qu’à cause d’une erreur, seules les 527 premières étaient correctes. De nos jours, il est aisé d’éviter de telles erreurs, en faisant faire les calculs par l’ordinateur, et en utilisant deux formules différentes pour éliminer les risques d’erreur de calcul, de programmation, ou du microprocesseur.

Les avancées théoriques du XVIII^e siècle ont amené les mathématiciens à s’interroger sur la nature de π, notamment sur l’absence de motifs périodiques dans ses décimales, une hypothèse raisonnable au vu des calculs numériques, mais pour laquelle il fallait une approche radicalement différente pour la prouver rigoureusement. Ce tour de force a été réalisé par Johann Heinrich Lambert en 1761, qui fut ainsi le premier à prouver l’irrationalité de π, par la suite Adrien-Marie Legendre a aussi prouvé que π² aussi était irrationnel. Cette constante (π²) jouait un rôle notable en mathématique, puisqu’elle apparaissait dans la solution du problème de Bâle, qui consistait à trouver la valeur exacte de ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots \!}$ qui est π²/6 (comme prouvé par Leonhard Euler qui a établi à cette occasion une connexion profonde entre π et les nombres premiers).

C’est au cours du lettre grecque « π », première lettre du mot grec περιφέρεια / périphéreia, « périphérie, circonférence », pour le rapport de la circonférence du cercle sur son diamètre.

À partir du . Le premier à utiliser simplement π est William Jones dans son livre Synopsis palmariorum mathesios publié en 1706, à propos du calcul astucieux de ce nombre par la série de son ami Machin. Les mathématiciens continuent cependant d’utiliser d’autres notations. Parmi ceux-ci Euler se met à la notation de Jones dans sa correspondance à partir de 1736. Il l’adopte dans son livre Introductio in analysin infinitorum publié en 1748, ce qui eut certainement une grande influence. La notation finit par s’imposer vers la fin du .

Alors que quelques dizaines de décimales de π sont largement suffisantes pour les calculs pratiques qu’effectue un physicien, la conquête des décimales du nombre π n’a pas cessé avec l’arrivée des ordinateurs, qui ont permis de calculer un très grand nombre de ces décimales (l'intérêt étant, outre le test de nouveaux algorithmes, le contrôle d'erreurs matérielles en effectuant par plusieurs méthodes différentes un calcul dont on sait à l'avance qu'il doit donner toujours le même résultat).

En 1949, à l’aide de l’ENIAC, John von Neumann a obtenu 2 037 décimales de π, à la suite d'un calcul qui a duré 70 heures^,. Des milliers de décimales supplémentaires ont été trouvées au cours des décennies suivantes, l’étape du million de chiffres ayant été passée en 1973. Les progrès n’ont pas seulement été dus aux ordinateurs de plus en plus rapides, mais aussi aux nouveaux algorithmes utilisés. L’une des avancées les plus significatives a été la découverte de la transformation de Fourier rapide dans les années 1960, qui a permis aux ordinateurs de manipuler rapidement de très grands nombres.

Au début du Srinivasa Ramanujan a trouvé de nombreuses nouvelles formules faisant intervenir π ; certaines d’entre elles sont remarquables par leur élégance et leur profondeur mathématique. L’une de ces formules est la série suivante, donnant 8 nouvelles décimales à chaque nouveau terme : ${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!}$

La formule ci-dessous, possédant un lien étroit avec celle énoncée ci-dessus, a été découverte par David et Gregory Chudnovsky en 1987 : ${\displaystyle {\frac {426880{\sqrt {10005}}}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}\!}$

Cette formule donne 14 nouvelles décimales de π à chaque terme. Vers la fin des années 1980, les frères Chudnovsky l’ont utilisée pour battre plusieurs records de décimales de π calculées. Elle demeure la formule la plus utilisée pour calculer π sur des ordinateurs personnels.

Alors que les séries permettent d’obtenir des valeurs approchées de π avec un taux de précision supplémentaire à chaque terme qui est constant, il existe des algorithmes itératifs qui multiplient le nombre de décimales correctes à chaque étape, avec cependant l’inconvénient que chaque étape demande généralement un calcul « coûteux ». Une grande avancée a eu lieu en 1975 lorsque Richard Brent et Eugene Salamin  ont découvert indépendamment la formule de Brent-Salamin, qui double le nombre de décimales correctes à chaque étape. Il s’appuie sur un vieux résultat pressenti puis démontré par Gauss. En 1818, celui-ci démontre le lien existant entre la moyenne arithmético-géométrique M(1, √2) de 1 et √2 — la longueur de la lemniscate de Bernoulli — et π. La longueur de la lemniscate est L = 2ϖr où r représente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et où ϖ est la constante de la lemniscate. Si on note G, la constante de Gauss, c’est-à-dire l’inverse de M(1, √2) alors : ${\displaystyle \varpi =\pi G}$ Salamin et Brent ont utilisé ce résultat pour construire l’algorithme qui porte leur nom, et grâce auquel la conquête des décimales de π va alors avancer conjointement avec celle des décimales de √2.

L’algorithme consiste à poser : ${\displaystyle a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad \quad \quad p_{0}=1\!}$, puis à définir les relations de récurrence suivantes : ${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\!}$ ${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}\!}$ et enfin à calculer ces valeurs jusqu’à ce que a_n et b_n soient assez proches. On a alors une valeur approchée de π donnée par : ${\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}}$.

En utilisant cet algorithme, seules 25 itérations sont nécessaires pour calculer 45 millions de décimales. Un algorithme similaire qui quadruple la précision à chaque étape a été trouvé par Jonathan et Peter Borwein. C'est grâce à ces méthodes que, de 1981 à 1999, Yasumasa Kanada et ses associés ont battu le record du nombre de décimales de π à onze reprises (plus de 2×10¹¹ décimales en 1999).

En 1997, la formule BBP, découverte par Simon Plouffe, a fait de nouveau progresser la connaissance de π. La formule, ${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right),}$ est remarquable car elle permet de calculer n’importe quel chiffre de l’écriture de π en base hexadécimale ou binaire, sans calculer les précédents. Entre 1998 et 2000, le projet de calcul distribué PiHex a utilisé une variante de la formule BBP due à Fabrice Bellard pour calculer le 1 000 000 000 000 000^e chiffre en binaire de π, qui s’est révélé être 0.

Si une formule de la forme : ${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{ck}}}{\frac {p(k)}{q(k)}},}$ était trouvée, avec b et c des entiers positifs et p et q des polynômes de degrés fixés à coefficients entiers (comme pour la formule BBP ci-dessus), ce serait l’un des moyens les plus efficaces pour calculer n’importe quel chiffre dans l’écriture de π en base b^c (et donc en base b) sans avoir à calculer les précédents, en un temps dépendant uniquement de l'indice du terme calculé et du degré des polynômes.

En 2006, Simon Plouffe a trouvé plusieurs formules faisant intervenir π. En posant q = e^π (constante de Gelfond), on a : ${\displaystyle {\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n}-1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac {4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)}$ ainsi que : ${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)}$ où k est un nombre impair, et a, b, c sont des nombres rationnels.

Depuis 2010, les records utilisant le programme y-cruncher se succèdent (voir la  »). Fin 2016, le record dépasse 2×10¹³ décimales.

Le 14 mars 2019, jour du Pi Day, Google rend public le nouveau record de décimales calculé par une de ses employées, Emma Haruka Iwao, au moyen de puissantes machines. Le nouveau record du monde s'établit à 31 415 milliards de décimales. Il a fallu 121 jours de calculs ininterrompus à Emma Haruka Iwao pour l'obtenir et ainsi entrer dans le livre Guinness des records.

Le 9 juin 2022, ce record est à nouveau battu par Emma Haruka Iwao, calculant cette fois cent mille milliards de décimales.

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