Fibonacci et la programmation

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Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci est un mathématicien italien qui a très tôt pris conscience que les chiffres arabes et le système décimal permettaient de manipuler les nombres plus aisément et plus rapidement que le système des chiffres romains1.

Ses travaux sur l'arithmétique et leurs applications commerciales sont encore utilisés, mais ses contemporains n'ont pas saisi la portée de ces changements, diabolisant même l'apparition de ce nouveau chiffre zéro qui représentait le vide.

La suite de Fibonacci

La suite d'entiers de Fibonacci est très souvent utilisée en informatique pour comprendre certains principes algorithmiques, comme la récursivité. Le problème posé par Fibonacci concerne la croissance d'une population de lapins :

Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côté par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?

Cependant, certaines distances sont prises par rapport à la réalité :

  • aucun lapin ne meurt pendant la durée du test.
  • chaque couple de lapins pubères engendre chaque mois exactement un nouveau couple( un mâle et une femelle) de lapins.

Nous pouvons en déduire pour notre algorithme que :

Tableau des naissances pour les lapins de Fibonacci 
Date | lapereaux(*2) | lapins(*2) | Total | Explications |
0 | 0 | 0 | 0 | Au moment zéro, nous n'avons pas encore de couple. Le compte commence après que nous ayons introduit notre premier couple. |
1 | 1 | 0 | 1 | Le premier mois, nous avons 1 couple de lapereaux. |
2 | 0 | 1 | 1 | Le second mois, notre couple de lapereaux devient pubère. Ils passent du bon temps, et Mme est enceinte. |
3 | 1 | 1 | 2 | Le troisième mois, Mme lapin accouche d'un couple de lapereaux après1 mois de gestation. Et ils reprennent leurs galipettes. |
4 | 1 | 2 | 3 | Notre premier couple acouche encore d'un couple de lapereaux, et leur première portée devient adulte. |
5 | 2 | 3 | 5 | Le premier couple et sa première portée ont chacun un couple, et la seconde portée du premier couple devient adulte. |
6 | 3 | 5 | 8 | Bon, comme à ce stade la famille devient un peu compliquée, le schéma animé plus bas est plus explicite… |
7 | 5 | 8 | 13 | |
8 | 8 | 13 | 21 | Et ainsi de suite… |
  • Colonne 1 : Xeme mois
  • Colonne 2 : Nombre de couples de lapereaux après X mois
  • Colonne 3 : Nombre de couples de lapins après X mois
  • Colonne 4 : Nombre total de couples après X mois (suite de Fibonacci)

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Les lapins de Fibonacci en image...

Si nous consultons le rapport entre les mois, les nombres de couples de lapereaux, de couples de lapins pubères et le total de la population, nous pouvons en déduire qu'au moment m la population est égale à la population du mois prédcédent(m - 1) plus la population deux mois auparavant(m - 2). Les seules exceptions sont les deux premières lignes de notre tableau, car nous devons attendre de placer un couple dans notre laboratoire, que ce couple soit pubère, et le temps de la gestation.

Suite de Fibonacci par récursivité

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Programmer les suites de Fibonacci

  1. public class Fibonacci {
  2.  
  3. 	public static int fibonacci(int n) {
  4. 		if (n < 2)
  5. 			return (n);
  6. 		return (fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2));
  7. 	}
  8.  
  9. }

Dans cette implémentation, nous pouvons remarquer deux appels récursifs2, ce qui donne un ordre de grandeur de temps T(n) ≤ Ordre de grandeur(2n)

Nous pouvons optimiser ce code par l'application des principes de la programmation dynamique, comme nous l'avons vu lors d'exemple de la mémoïsation appliquée à la suite de Fibonacci.

3
  1. <?php   
  2. function fibonacci($length) {
  3.    for( $l = array(1,1), $i = 2, $x = 0; $i < $length; $i++ ){
  4.         $l[] = $l[$x++] + $l[$x];
  5.    }
  6.    return $l;
  7. }
  8. for( $x=0; $x< $fibmax; $x++){
  9. 	echo "fibonacci(" , $x , ") ", fibonacci($x), "\n";
  10. }
  11. ?>

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Document créé le 30/10/2009, dernière modification le 12/03/2019
Source du document imprimé : https://www.gaudry.be/algorithme-fibonacci-rf-php/fibonacci-iter.php.html

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Notes
  1. ↑ Liber Abaci : C'est dans ce livre que Leonardo Fibonacci tenta de convaincre ses contemporains de l'utilité des chiffres arabes. Le titre peut se traduire par "Livre de calcul", ou encore "Livre de l'abaque (car l'abaque, ou boulier était l'instrument de calcul de l'époque)."

  2. ↑ Double récursion : fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

  3. ↑ Autres codes en relation avec Fibonacci :
    Afficher le fichier .c Suite de Fibonacci Exemple d'itération en C
    Afficher le fichier .c Suite de Fibonacci Exemple de récursion en C
    Afficher le fichier .cpp Suite de Fibonacci Exemple d'itération en C++
    Afficher le fichier .cpp Suite de Fibonacci Exemple de récursion en C++
    Afficher le fichier .cs Suite de Fibonacci Exemple d'itération en C#
    Afficher le fichier .cs Suite de Fibonacci Exemple de récursion en C#
    Afficher le fichier .pas Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Pascal
    Afficher le fichier .pas Suite de Fibonacci Exemple de méoïsation en Pascal
    Afficher le fichier .ada Suite de Fibonacci Exemple d'itération en ADA
    Afficher le fichier .ada Suite de Fibonacci Exemple de récursion en ADA
    Afficher le fichier .php Suite de Fibonacci Exemple d'itération en PHP
    Afficher le fichier .php Suite de Fibonacci Exemple de récursion en PHP
    Afficher le fichier .java Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Java
    Afficher le fichier .rhtml Suite de Fibonacci Exemple d'itération en Ruby
    Afficher le fichier .rhtml Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Ruby
    Afficher le fichier .st Suite de Fibonacci
    Afficher le fichier .for Suite de Fibonacci
    Afficher le fichier .asp Suite de Fibonacci Exemple d'itération en ASP
    Afficher le fichier .asp Suite de Fibonacci Exemple de récursion en ASP
    Afficher le fichier .js Suite de Fibonacci Exemple de récursion en JavaScript
    Afficher le fichier .lsp Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Lisp
    Afficher le fichier .pl Suite de Fibonacci Exemple d'itération en Perl
    Afficher le fichier .pl Suite de Fibonacci Exemple d'itération en Perl avec bigint
    Afficher le fichier .pl Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Perl
    Afficher le fichier .py Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Python
    Afficher le fichier .cob Suite de Fibonacci
    Afficher le fichier .e Suite de Fibonacci Exemple d'itération en Eiffel
    Afficher le fichier .e Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Eiffel
    Afficher le fichier .scm Suite de Fibonacci Exemple d'itération en Scheme
    Afficher le fichier .scm Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Scheme
    Afficher le fichier .caml Suite de Fibonacci Exemple de récursion en Ocaml
    Afficher le fichier .tcl Suite de Fibonacci

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Références

  1. livre Langue du document :fr IHDCB331 - Méthodes de Programmation : PY Schobbens, Cours de Méthodes de Programmation (September 2009)

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